Parallelen (v. griech. para "neben" und allelon "einander") sind Linien, die in derselben Richtung verlaufen und sich erst im Unendlichen schneiden.

Euklidische Geometrie: Genau eine Parallele pro Linie und Punkt.

In der Euklidischen Geometrie führt durch einen gegebenen Punkt zu jeder Linie genau eine weitere Linie, die zu der ersten parallel ist. Die euklidische Geometrie ist eine Eigenschaft bestimmter Räume, unter anderem vermutlich auch der drei Raumdimensionen unseres Universums. Darauf weist eine Regelmäßigkeit in der Verteilung der kosmischen Hintergrundstrahlung hin. In euklidischen Räumen beträgt die Winkelsumme eines Dreiecks genau 180 Grad. Man kann zeigen, dass die Parallelenbedingung und die 180-Grad-Winkelsumme einander bedingen und damit äquivalent sind. Es gibt auch Räume nichteuklidischer Geometrie:

Auf einer Oberfläche einer Kugel oder eines Ellipsoiden gibt es überhaupt keine Parallelen, denn alle geraden Linien – die Großkreise - schneiden sich bereits in endlichen Abständen. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist abhängig von dessen Abmessungen und größer als 180 Grad.

Auf einer Sattel- oder Torusfläche existieren für jede Linie und jeden Punkt unendlich viele Parallelen. Die Winkelsumme eines Dreiecks ist abhängig von dessen Abmessungen und kleiner als 180 Grad.

Die Aussage, dass sich Parallelen erst im Unendlichen schneiden, ist nicht gleichwertig mit der, dass sie sich überhaupt nicht schneiden. Die Grundlagen (Axiome) der Euklidischen Geometrie lassen sich nämlich einfacher formulieren, wenn man einen Schnittpunkt im Unendlichen einführt. Dieser unendliche Schnittpunkt ist keineswegs ein nur theoretischer, sondern durchaus real und manchmal sogar sichtbar, beispielsweise in der Perspektive, oder gar in der Lyrik (Die zwei Parallelen von Christian Morgenstern):

Es gingen zwei Parallelen
ins Endlose hinaus,
zwei kerzengerade Seelen
und aus solidem Haus.

Sie wollten sich nicht schneiden
bis an ihr seliges Grab:
das war nun einmal der beiden
geheimer Stolz und Stab.

Doch als sie zehn Lichtjahre
gewandert neben sich hin,
da war's dem einsamen Paare
nicht irdisch mehr zu Sinn.

War'n sie noch Parallelen?
Sie wussten's selber nicht,
sie flossen nur wie zwei Seelen
zusammen durch ewiges Licht.

Das ewige Licht durchdrang sie,
da wurden sie eins in ihm;
die Ewigkeit verschlang sie,
als wie zwei Seraphim.


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